몇 가지 역설들(paradox)

역설(paradox)

∀(every), ∃(some), ∧(and), ∨(or), ∼(not), ⊃(if-then)

1.러셀의 역설

러셀의 역설(Russell's paradox)은 수학자 버트런드 러셀이 1901년 발견한 논리적 역설로 프레게의 논리체계와 칸토어의 소박한 집합론(naïve set theory)이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예이다.

 

그 대략적인 내용은 다음과 같다.

M이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 M의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다.

 

칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에는 다시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "M은 M의 원소이다"라는 명제와 "M은 M의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.

 

프레게의 공리체계에서 M은 "자신을 정의하는 개념에 포함되지 않는다(not fall under its defining concept)"라는 개념(concept)에 해당한다. 따라서, 프레게의 체계 역시 모순을 낳는다.

 -유사 개념

: 논리학을 전문적으로 공부하지 않은 일반인들도 이해하기 쉽게 러셀 자신이 그의 역설을 예로 설명한 것이 세비야의 이발사 이야기이다.

 

만약 세비야에 스스로 이발을 하지 않는 모든 이의 이발만을 해주는 이발사가 있다고 하자. 이 이발사는 이발을 스스로 해야 할까? 만약 스스로 이발을 하지 않는다면, 그 전제에 의해 자신이 자신을 이발시켜야 하고, 역으로 스스로 이발을 한다면, 자신이 자신을 이발시켜서는 안 된다. 이는 바로 러셀의 역설과 동일한 문제에 걸리는 것이다.

: 거짓말쟁이의 역설(Liar Paradox)는 “이 말은 거짓이다”라는 말이다. 예를 들어 다음과 같은 자기모순적인 말들이 있다.

 나는 지금 거짓말을 하고 있다.

 이 문장은 거짓이다.

 

이 말들은 자기모순적인데, 그 이유는 정확히 참 또는 거짓으로 증명할 수 없기 때문이다. '이 문장은 거짓이다'의 경우를 생각해 보자. 만약 이 문장이 참이라면, 문장 내용에 의해 이 문장은 거짓이어야 한다. 반대로 이 문장이 거짓이라면, 역시 문장 내용에 의해 이 문장은 반드시 참이 되어야 한다.

 

거짓말쟁이의 역설은 다음처럼 하나의 문장이 아닌, 여러 개의 문장으로 구성할 수도 있다.

 이 다음 문장은 참이다. 이 앞의 문장은 거짓이다.

: 현재 알려진 거짓말쟁이의 역설 중 가장 오래된 것은 기원전 4세기에 살았던 고대 그리스의 철학자 에우불리데스(Eubulides)의 역설이다. 에우불리데스가 에피메니데스의 글을 알고 있었을 가능성은 매우 희박하다. 에우불리데스는 다음과 같이 말하였다.

 한 남자가 자기는 거짓말을 하고 있다고 말한다. 그가 말한 것은 참인가? 아니면 거짓인가?

: 알프레트 타르스키는 스스로를 다시 참조하지 않는 문장들도 조합할 경우 스스로를 다시 참조하면서 역설적이 될 수 있다는 점에 대해 논하였다. 이러한 조합의 한 예는 다음과 같다.

 1.2번 문장은 참이다.

 2.1번 문장은 거짓이다.

 

그는 이러한 '거짓말쟁이의 순환(liar cycle)' 문제를 하나의 문장이 다른 문장의 참/거짓을 참조할 때, 의미상 더 높도록 하여 해결하였다. 참조되는 문장은 '대상 언어(object language)'의 일부가 되며, 참조하는 문장은 목표 언어에 대한 '메타 언어(meta-language)'의 한 일부로 간주된다. 의미 계층(semantic hierarchy)의 더 높은 '언어들(languages)'에 있는 문장들은 '언어(language)' 계층에 있는 낮은 순위의 문장들을 참고해야 하며, 순서를 거꾸로 바꾸는 것은 허용되지 않는다. 이것은 시스템이 자기 참조가 되는 것을 막는다.

2. 비모순율

비모순율 또는 무모순성의 원리는 아리스토텔레스의 논리학에서, 'A이다'와 'A는 아니다'라는 것은 동시에 성립할 수 없다 또는 참이면서 동시에 거짓인 명제는 존재하지 않는다.라는 원리를 일컫는 논리학 용어이다.

 

보다 수학적인 용어로 표현하면 다음과 같다.

┐(P∧┐P).

3.무어의 역설

무어의 역설(Moore's paradox)은 조지 에드워드 무어에 의해 만들어진 역설로, 루트비히 비트겐슈타인에 의해 널리 알려졌다. 이 역설은 지식과 믿음에 관한 역설로, 다음과 같은 두 가지 형태 중 하나를 갖는다.

p가 참이지만 나는 p를 믿지 않는다.

p가 참이지만 나는 not p를 믿는다.

두 명제 사이의 차이는 부정 기호가 어디에 위치하는가에 달려있다. 예를 들면 전자의 경우 “지금 비가 오지만 나는 비가 온다고 믿지 않는다.”와 같은 문장이, 후자의 경우 “지금 비가 오지만 나는 비가 오지 않음을 믿는다.”와 같은 문장이 있을 수 있다. 로이 소렌센(Roy Sorensen)은 전자를 omissive 형, 후자를 commissive 형이라 명명하였다.

이 역설을 해결하기 위해 여러 해결책이 제안되었지만 아직까지 일반적으로 받아들여지는 해결책은 없다.