괴델의 불완전성정리와 하이델베르크의 불확정성원리

수학은 경험을 넘어선 선험적 추론을 통해 진리를 찾는다. 그래서 일단 확립된 결론은 세상의 본질에 대한 어떤 경험적 발견으로도 뒤엎을 수 없다는 특성을 지닌다. 이런 수리과학 분야에서 20세기 초반 수십년 동안 인식 능력의 한계를 보여주는 혁명이 연이어 일어났다. 괴델의 불완전성정리와 베르너 하이젠베르크의 불확정성원리, 알베르트 아인슈타인의 상대성이론이 그것이다.

괴델의 불완전성정리

명확하게 표현된 모든 수학 문제는 반드시 명괘한 해결책을 갖고 증명 가능한 한 수학만큼 확실한 진리에 세계는 없다 라는
수학에 대한 절대적 믿음에 결정적인 타격을 가한 사람이 쿠르트 괴델이다.
수학적 실체가 객관적을 존재하다는 사실을 믿고 이를 추구하는 관점이 수학적 플라톤주의다. 합리주의자인 괴델은 이런 수학적 플라톤주의를 지지했다. 수학의 진리성은 결국 소수 공리에 의해 보장되고 공리는 직관위에 구축된다. 따라서 수학이 경험적 학문은 아니지만 세상을 서술하다는 게 플라톤주의의 핵심이고 괴델은 말한다.

괴델의 반대편에는 경험주의를 계승한 논리실증주의자들이 있었다. 전통적 경험론에 따르면 세계의 본질에 관계되는 모든 명제는 오직 경험적 수단을 통해서만 진위가 가려진다. 논리실증주의자들은 나아가 인식가능성의 한계는 의미의 한계와 같으므로 유의미한 것은
모두 이해할 수 있다고 주장한다. 이들은 이를 입증하기 위해 논리학과 마찬가지로 수학에는 서술적 내용이 없음을 밝히려고 시도한다. 이들은 공리와 정의와 추론규칙과 증명으로 인공적 형식체계를 구축하고, 이로부터 모든 수학적 진리가 도출될 수 있음을 보이려 했다. 이 체계가 성립하면 수학적 직관은 인간의 미혹에서 비롯된 환상에 지나지 않게 된다.

괴델의 정리는 이 체계를 무너뜨린다. 제1정리는 어떤 계가 무모순이면 그 안에서 표현 가능한 참이면서 증명불가능한 명제가 존재한다고 말한다. 제2정리는 수론에 적합한 어떤 형식체계의 무모순성은 그 체계 안에서는 증명할 수 없다는 내용이다. 이들 정리는 인간 인식 능력의 한계를 보여준 것으로 평가된다.

제1불완전성정리: 산술을 포함하는 어떤 무모순인 공리계는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다.
제2불완전성정리: 그러한 공리계는 자기자신의 무모순성을 증명할 수 없다.

- 증명과정 -
어떤 언어 안에서 그 언어 자체에 대해 연구할 필요가 있을 때 그 언어에 대해서 얘기할 다른 언어가 또 다시 필요하게 된다. 이때 대상이 되는 언어를 '대상언어'라 하고, 그 언어를 설명하기 위해 도입된 언어를 '메타언어'라고 한다.
괴델은 불완전성정리를 증명하기 위해, 대상언어를 자연수에 일대일 대응시켜 메타언어를 대상언어의 영역으로 갖고오는 새로운 착상을 하게 되는데 이 1:1 대응된 수를 괴델수라고 부른다.

먼저 화이트헤드와 러셀에 의해 쓰여진 수학원리(Principia Mathematica)의 기호들에게 괴델수를 붙입니다.
예를 들어, 여덟개의 원시기호, 0 f ~ ( ) → = A에 각각 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 를 부여하고,
개체변수(type1) x y z ... 에 각각 11, 13, 17... 을
술어변수(type2) F G H ... 에 각각 11^2, 13^2, 17^2... 을
이런식으로 각 기호마다 괴델수를 붙인다
그러면 모든 문장에도 괴델수를 부여할 수 있게된다.

어떤 메타수학적 명제 G == "논리식 G는 증명 불가능하다"라는 논리식을 형식체계에서 구성한다. 또 논리식 G의 괴델수를 n이라 하면, 이 n이 "괴델수 n에 대응되는 논리식은 증명불가능하다"라는 명제에 대응하도록 구성한다.

만일 G가 증명가능하다면, 곧 참이고, 그러면 G는 증명불가능한 명제이므로, n을 괴델수로 갖는 명제가 증명불가능하고, 이는 다시 G가 증명불가능임을 말하므로 가정과 모순이다. 또 ~G가 증명가능하다면, G는 곧 거짓이고, 그러면 G는 증명가능한 명제이므로, 그럼 G가 참이므로 또 가정과 모순된다. 따라서 G와 ~G는 모두 증명불가능한 명제여야 한다.

그런데 G가 거짓이라면 ~G가 증명가능하다고 했을 때와 똑같이 모순이 생기므로, G는 참이어야 한다.
G가 참이면서 증명 불가능함으로, 제1불완전성정리가 증명되었다.

이번에는 "산술체계가 무모순이다"는 메타수학적명제라는 논리식 J를 구성한다. 그러면 괴델의 제1불완전성정리는 J->G 와 같이 쓸 수 있다. 만일 J가 증명가능하다면 G도 증명가능하다. 하지만 이는 모순을 일으킴을 앞에서 보았다. 따라서 J는 증명불가능하다. 이로부터 괴델의 제2불완전성정리를 얻어진다.


불과 스물다섯살에 내놓은 그의 불완전성 정리는 아인슈타인의 상대성이론, 하이젠베르크의 불확정성원리 등과 함께 20세기 지적 체계를 구성하는 세 개의 기둥으로 꼽힌다. 어떤 체계가 안주할 확고부동한 근거가 있을 수 없다는 이 정리는 포스트모던의 지적 토대, 컴퓨터 이론의 기초가 되기도 했다

하이젠베르크의 불확실성 원리


전자나 빛이 본질적으로 성질이 다른 입자와 파동의 2가지 요소를 가지고 있다는 것은 일견 모순된 것같이 생각되지만, 이것은 물질이 존재하는 데 대한 견해의 차이이다. 관측 방법의 선정에 따라 어떤 때는 입자로서, 어떤 때는 파동으로서 관측되며 양쪽 성질이 동시에 관측되는 일은 없다. 따라서 전자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 측정할 수 없다. 이것은 양자 역학의 특징적인 기초 원리로 하이젠베르크의 불확실성 원리라고 한다.

시공간의 동시성은 이전까지 심지어 상대성 이론의 아인슈타인조차 절대적인 믿음으로 가지고 있던 절대진리이다
하지만 하이젠베르크의 불확실성의 원칙은 소립자의 위치와 속도를 둘 다 정확하게게 측정 불가능하다는 것이다.

즉 입자의 위치를 정하려고 하면 운동량이 확정되지 않고 운동량을 정확히 측정하려 하면 위치가 불확정해 진다. 이것은 어떤 물체의 위치와 속도를 동시에 정확헥 측정하는 것은 이론적으로 불가능하다고 주장한다.

하지만 아인슈타인은 불확정성을 인정하지 않았고 그 유명한 신은 주사위를 던지지 않는다란 말을 남겼다.
그럼에도 양자 역학의 불확정성의 원리는 관찰자의 관찰이라는 행동 차제가 전자의 영향을 끼쳐 정확한 관찰을 방해하는 뜻으로 자연과학이 아닌 사회과학과 철학에 확고한 자리를 잡았다. 이로 말미암아 17세기부터 이어온 합리성과 이성의 시대는 끝나고 포스트모더니즘, 구조주의 철학의 시대가 들어서가 된다.

(출처 : http://sungyuyam.tistory.com/m/post/37)